「半径1の球」を分解して、再び組み立てて「半径2の球」を作れるか?

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日常で数学の話は<全く>しないので、ブログには書いてみる。笑

 

 

バナッハ・タルスキーの定理

 

タイトルの通り、

Q.「半径1の球」を分解して、再び組み立てて「半径2の球」を作れるか?(´・ω・`)

と問われたら、何と答えるだろうか?

 

 

 

「何馬鹿なこと言ってんの?できる訳ないでしょ?」と言われると思うが、

実は以下のような数学の定理がある。

(厳密性はおいておいて、すごく簡単に書いてみた)

 

 

 

 

 

数学嫌いで拒否反応が起こりそうな人のために、要するに文章で言うと、

「半径1の球をm個に分解する。半径2の球もm個に分解する。

そしてそれぞれ分解したm個が、それぞれ全部合同になっている」

という話。

 

 

これはつまり

「半径1の球」を分解して、再び組み立てて「半径2の球」を作れる

ということを意味している。

 

 

もっと極端にするなら

「サッカーボールを分解して、再び組み立てて、地球にできる」

ということを意味している。

 

 

これは「バナッハタルスキーの定理」と言って、数学的にも証明されている定理だ。

興味ある方はネットで調べてもらえればすぐに出てくる。

 

 

 

 

どういうこと??

 

もちろん実際問題としてそんなことは不可能だ。( ゚Д゚)

 

 

しかしこの定理自体は数学的に正しい。(´・ω・`)

 

 

どこが問題なのかというと、

「半径1の球をm個に分解した一個一個の成分X1,…,Xm」たちだ。

m個という有限な個数だが、実際

「X1,…,Xmたちには体積を定義できない」

ということ。

 

 

つまり体積を定義できるようなかたちで、半径1の球をうまく分解して、半径2の球にすることはできないということ。

 

 

実際にどういう成分になるのかはわからないが、ものすごく変な形になる。

(形というよりは、恐らくすごく稠密なスカスカの集合みたいになる)

 

 

 

 

考えてみるべき点

 

この定理から考えてみるべき点はいろいろあるが、その中の一つとしては

 

「体積」という日常では当たり前の概念も、厳密に定義しようとしたら難しい

ということ。

 

 

もちろん日常生活では「全く」困ることはないが、

本当の意味で厳密性を追求しようとすると、簡単な概念ではないし、

曖昧に、適当に「こんな感じっしょ」(‘ω’)ノ と定義してしまうと

このようなパラドックス的なこともたくさん起こってくる。

 

 

 

実は私たちはこういうような「あいまいな定義」をたくさんして生きている。( ˘•ω•˘ )

 

 

 

たとえば「人を殺してはいけない」ということ自体は、

①法律で定められているし

②良心的にもダメそうだから

だめそうだということはわかっている。

しかし厳密に「どうして人を殺してはいけないのか?」と言う問いに対して、「厳密に、完全に」答えられる人が一体何人いるのだろうか?

 

 

一番多い回答としては

「私は殺されたくないから、人を殺してはいけないと思う」

というような人が多い。

では

「私は殺されてもいいから、私は人を殺す」

という人が現れてきたら、一体どうするのか?

 

 

 

どうして人を殺してはいけないのか?

信号無視してはいけないのか?

どうして悪口を言ってはいけないのか?

どうして学校のろうかは走ってはいけないのか?

どうして挨拶しないといけないのか?

 

 

こういった日常的に当たり前のことも、

厳密に考えてみると、実はとても難しい問題だ。

 

 

 

<曖昧に>、<なんとなく>定義してしまうと

バナッハタルスキーの定理のような

変なパラドックスを起こしてしまうことになる。

 

 

ご注意されたし。

 

 

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